{"id":2,"date":"2022-08-27T23:44:14","date_gmt":"2022-08-27T21:44:14","guid":{"rendered":"https:\/\/mathmj.fr\/accueil\/?page_id=2"},"modified":"2022-09-02T20:48:43","modified_gmt":"2022-09-02T18:48:43","slug":"page-d-exemple","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/mathmj.fr\/accueil\/page-d-exemple\/","title":{"rendered":"Pourquoi ces pages sur un sujet qui semble \u00e9puis\u00e9 ?"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"has-base-background-color has-background\">Le <strong>\u00ab \u00e0 bas Euclide ! \u00bb de Jean Dieudonn\u00e9<\/strong>, malgr\u00e9 tout le respect d\u00fb au grand math\u00e9maticien, m\u2019a toujours mis mal \u00e0 l\u2019aise. J\u2019admire davantage l\u2019\u0153uvre d\u2019<strong>\u00c9mile Artin<\/strong>, qui a montr\u00e9 qu\u2019en se basant sur une axiomatique que n\u2019aurait pas reni\u00e9e Euclide, et beaucoup moins exigeante que celle de David Hilbert, on pouvait reconstruire les notions abstraites introduites en math\u00e9matiques dites \u00abmodernes\u00bb, mais devenues centenaires, que sont les structures alg\u00e9briques, et en particulier les structures de corps et d\u2019espace vectoriel.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-base-background-color has-background\">Il est paradoxal que l\u2019enseignement post-bac pr\u00e9sente la structure abstraite d\u2019espace vectoriel avant la notion d\u2019espace affine, alors que coll\u00e9giens et lyc\u00e9ens d\u2019aujourd\u2019hui (en 2020) n\u2019ont qu\u2019une exp\u00e9rience tr\u00e8s limit\u00e9e en g\u00e9om\u00e9trie. Cela est n\u00e9cessaire d\u2019un point de vue Bourbakiste, pour pouvoir pr\u00e9senter un espace affine comme un ensemble sur lequel op\u00e8re le groupe de l&rsquo;espace vectoriel, mais Il me semble qu\u2019il serait p\u00e9dagogiquement plus honn\u00eate d\u2019utiliser le point de vue d\u2019<strong>\u00c9mile Artin<\/strong>, qui construit d\u2019abord le groupe additif  des translations d\u2019un plan. L&rsquo;ensemble des endomorphismes de tout  groupe est naturellement muni d&rsquo;une structure d&rsquo;anneau, on d\u00e9finit ensuite un sous-anneau qui se r\u00e9v\u00e8le \u00eatre un corps en utilisant les  homoth\u00e9ties du plan. Finalement on r\u00e9ussit \u00e0 associer au groupe des translations, ce corps constitu\u00e9 d&rsquo;automorphismes particuliers, et ceci  \u00e0 partir de seulement cinq axiomes, dont les tr\u00e8s importants axiomes de <strong>Desargues<\/strong>. Les propri\u00e9t\u00e9s de la multiplication ext\u00e9rieure \u00e9nonc\u00e9es dans la d\u00e9finition \u00abmoderne\u00bb de la structure d\u2019espace vectoriel ne sont que les propri\u00e9t\u00e9s qui d\u00e9finissent un automorphisme de groupe.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-base-background-color has-background\">Nous allons d\u00e9tailler  la m\u00e9thode d&rsquo;<strong>\u00c9mile Artin<\/strong>, afin de montrer tout l\u2019int\u00e9r\u00eat qu\u2019il faut accorder \u00e0 la structure d\u2019espace vectoriel, sans tomber dans l\u2019exc\u00e8s bourbakiste de <strong>Jean Dieudonn\u00e9<\/strong> qui voudrait d\u00e9buter l\u2019\u00e9tude de la g\u00e9om\u00e9trie en parachutant la structure d\u2019espace vectoriel, alors qu\u2019il a fallu plusieurs mill\u00e9naires pour effectuer cette synth\u00e8se qui est l\u2019aboutissement de toute l\u2019exp\u00e9rience acquise et accumul\u00e9e par les g\u00e9om\u00e8tres et math\u00e9maticiens au cours d\u2019une tr\u00e8s longue histoire \u00e9tal\u00e9e sur plusieurs mill\u00e9naires.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Le \u00ab \u00e0 bas Euclide ! \u00bb de Jean Dieudonn\u00e9, malgr\u00e9 tout le respect d\u00fb au grand math\u00e9maticien, m\u2019a toujours mis mal \u00e0 l\u2019aise. 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